Числа

Число́ — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув в  первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось, обогащалось и превратилось в математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры. 

Число́ — величина, которая складывается из цифр по определённым правилам. Эти правила называются .

Основные классы чисел:

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается “N”.  То есть N={1,2,3,…} (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть N={0,1,2,3,…}.  Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления).  Сложение и умножение натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Простые числа “P”.  Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Ряд простых чисел начинается так: 2,3,5,7,11,17,… .  Любое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения степеней простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Например, 121968=24x32x7x112.  Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём,  обозначаются Z={… -2, -1, 0, 1, 2, …}.  Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n≠0), где m — целое число, а n — натуральное число. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак “Q” (от лат. quotient).

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых  (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается “R”. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел “Q” при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, “R” включает множество иррациональных чисел “I”, не представимых в виде отношения целых.

Комплексные числа “C”, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z=x+iy,  где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство  (i во второй степени = -1).  Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний, теории хаоса, теории упругости и многих других. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

В европейской традиции исторически сложились два варианта построения системы наименования чисел. В России первоначально была введена система наименования чисел с длинной шкалой, и, по-видимому, в печатном виде впервые в 1703 году в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого. Однако в конце XVIII века, в царствование императора Павла I, вслед за Францией произошёл переход на короткую шкалу. В дальнейшем выбор системы наименования чисел в России — СССР — РФ не менялся. Однако Франция в 1948 году вернулась к системе с длинной шкалой, поэтому сейчас используемая в России система отличается от французской, хотя и заимствовалась во Франции.

Короткая шкала

В случае короткой шкалы все названия больших чисел строятся так: в начале идёт латинское числительное, а в конце к нему добавляется суффикс «-иллион». Исключение составляет название «миллион», которое образовано от латинского существительного mille «тысяча» при помощи увеличительного суффикса «-он» -one). Так получаются числа — миллион, биллион, триллион, квадриллион, квинтиллион, секстиллион и т. д. Система наименования чисел с короткой шкалой используется в России, Украине, США, Канаде, Великобритании, Греции и Турции. Количество нулей в числе, записанном по этой системе, определяется по формуле 3·x+3 (где x — латинское числительное).

Длинная шкала

Названия чисел в этой системе строятся так: к латинскому числительному добавляют суффикс «-он», название следующего числа (в 1000 раз большего) образуется из того же самого латинского числительного, но с суффиксом «-ард». Т.е. после триллиона в этой системе идёт триллиард, а только затем квадриллион, за которым следует квадриллиард и т. д. Количество нулей в числе, записанном по этой системе и оканчивающегося суффиксом «-иллион», определяется по формуле 6·x (где x — латинское числительное) и по формуле 6·x+3 для чисел, оканчивающихся на «-иллиард».

Таблица от значения к названию